7. SINIF • MATEMATİK

1. Dönem 1. Yazılı
Ders Notu

Kapsam: Tam Sayılarla İşlemler  •  Rasyonel Sayılar

Yazılının tam kapsamı okuluna ve öğretmenine göre değişebilir. Öğretmeninin işlediği konulara öncelik ver.

Bu notu nasıl kullanırsın?
  • Alttaki araç çubuğundan Kalem, Fosforlu, Silgi, Şekiller ve Metin araçlarını seç. Yazı ve çizimlerin ders notuna işlenir.
  • Yaptığın her şey otomatik kaydedilir. Notu kapatıp tekrar açınca (aynı tarayıcıda) çizimlerini, işaretlerini ve kaldığın yeri görürsün.
  • Çizim aracı açıkken sayfadaki düğmelere dokunamazsın; okumak ve kaydırmak için “Gezin” aracına dön.
  • Tabletlerde kalemle çizerken parmağınla kaydırabilirsin. Parmakla çizmek istersen “Parmakla çiz” kutusunu işaretle.
  • Tarayıcı verilerini silmeden önce Yedekle düğmesiyle bir .json dosyası indir; Yükle ile geri getirirsin.
1. ÜNİTETam Sayılarla İşlemler

1Tam Sayılar ve Sayı Doğrusu

  • Doğal sayılar (N): {0, 1, 2, 3, …}
  • Tam sayılar (Z): {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
  • Pozitif tam sayılar (Z+): 1, 2, 3, …  |  Negatif tam sayılar (Z−): −1, −2, −3, …
  • 0 ne pozitif ne de negatiftir.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 |−3| = 3 (0’a uzaklık) ← küçükbüyük →
Mutlak değer

Bir tam sayının sayı doğrusunda 0’a olan uzaklığına mutlak değeri denir. |a| ile gösterilir ve her zaman 0 veya pozitiftir. Örnek: |−7| = 7, |+4| = 4, |0| = 0.

Karşıt (ters işaretli) sayı

Sayı doğrusunda 0’a eşit uzaklıkta, zıt yönde olan sayılardır. a’nın karşıtı −a’dır. Toplamları 0’dır: 8 + (−8) = 0. Karşıt sayıların mutlak değerleri eşittir.

Sıralama kuralları
  • Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden büyüktür: −2 > −5.
  • Her pozitif tam sayı 0’dan büyük, her negatif tam sayı 0’dan küçüktür.
  • Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: −9 < −3.

2Toplama İşlemi

DurumKuralÖrnek
Aynı işaretli sayılarMutlak değerler toplanır, ortak işaret aynen yazılır.(−7) + (−5) = −12
(+4) + (+9) = +13
Farklı işaretli sayılarMutlak değerlerin büyüğünden küçüğü çıkarılır, sonuca mutlak değeri büyük olanın işareti verilir.(+9) + (−4) = +5
(−9) + (+4) = −5
Karşıt sayılarToplamları 0’dır.(−6) + 6 = 0
Toplamanın özellikleri
  • Kapalılık: İki tam sayının toplamı yine tam sayıdır.
  • Değişme: a + b = b + a
  • Birleşme: (a + b) + c = a + (b + c)
  • Etkisiz eleman 0: a + 0 = a
  • Ters eleman: a + (−a) = 0
Örnek

(−12) + (+7) + (−3) + (+8) işlemini kolaylaştır: Pozitifler 7 + 8 = 15, negatifler −12 − 3 = −15 → 15 + (−15) = 0.

3Çıkarma İşlemi

Temel kural

Çıkarma, çıkarılanın karşıtını toplamaktır:

a − b = a + (−b)

  • 5 − 8 = 5 + (−8) = −3
  • (−3) − (−7) = −3 + 7 = 4
  • (−4) − (+6) = −4 − 6 = −10
Dikkat

Çıkarma işleminde değişme ve birleşme özelliği yoktur: 5 − 3 ≠ 3 − 5. Eksi işaretinden sonra parantez varsa parantezin içindeki her sayının işareti değişir: 10 − (4 − 9) = 10 − 4 + 9 = 15.

4Çarpma İşlemi

Çarpma / bölme işaret kuralıSonuçÖrnek
(+) · (+)+(+4)·(+5) = 20
(−) · (−)+(−3)·(−6) = 18
(+) · (−) veya (−) · (+)−(−4)·(+5) = −20
Çok çarpanlı çarpma

Negatif çarpan sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise negatiftir. (−2)·(−3)·(−4) → 3 tane negatif → −24.

Çarpmanın özellikleri
  • Değişme: a · b = b · a    Birleşme: (a · b) · c = a · (b · c)
  • Etkisiz eleman 1: a · 1 = a    Yutan eleman 0: a · 0 = 0
  • Toplama üzerine dağılma: a · (b + c) = a·b + a·c
Örnek (dağılma)

(−5) · (4 + 7) = (−5)·4 + (−5)·7 = −20 − 35 = −55

5Bölme İşlemi

  • İşaret kuralı çarpmayla aynıdır: (−24) : (+6) = −4, (−36) : (−9) = +4, 18 : (−3) = −6.
  • 0 : a = 0 (a ≠ 0).   a : 0 tanımsızdır (sıfıra bölünemez).
  • Bir sayıyı 1’e bölmek sayıyı değiştirmez; bir sayıyı −1’e bölmek karşıtını verir.
Dikkat

Bölmede değişme ve birleşme özelliği yoktur: 12 : 4 ≠ 4 : 12.

6Tam Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeler)

an ifadesinde a taban, n üstür: an = a · a · a … (n tane a çarpımı).

KuralÖrnek
Üs 1 ise: a1 = a(−7)1 = −7
Üs 0 ise: a0 = 1 (a ≠ 0)50 = 1, (−9)0 = 1
Negatif tabanın çift kuvveti pozitiftir(−2)4 = 16, (−3)2 = 9
Negatif tabanın tek kuvveti negatiftir(−2)3 = −8, (−2)5 = −32
(−1)çift = 1, (−1)tek = −1(−1)100 = 1, (−1)99 = −1
Sık yapılan hata: parantez!

(−3)2 = (−3)·(−3) = 9 ama −32 = −(3·3) = −9. Parantez yoksa üs sadece kendisinden önceki sayıya aittir; eksi işareti sonra gelir.

7İşlem Önceliği

  1. Parantez içi (içten dışa)
  2. Üslü ifadeler
  3. Çarpma ve bölme (soldan sağa, hangisi önce gelirse)
  4. Toplama ve çıkarma (soldan sağa)
Örnek 1

12 − 3·(−4) + (−18) : 6 = 12 + 12 + (−3) = 21

Örnek 2

−22 + (−3)2·2 − 4 : (−2) = −4 + 18 + 2 = 16

8Tam Sayılarla Problemler

Günlük hayatta negatif sayılar; sıcaklık (sıfırın altı), deniz seviyesi (deniz altı), borç/alacak, kat numaraları (bodrum) gibi durumlarda kullanılır.

Örnek 1 • Sıcaklık

Sabah sıcaklık −4°C iken öğlene kadar 9°C artıyor, akşam 7°C düşüyor. Akşam sıcaklığı: −4 + 9 − 7 = −2°C.

Örnek 2 • Deniz seviyesi

Deniz seviyesinin 35 m altında olan bir denizaltı 12 m yükselirse: −35 + 12 = −23 m (hâlâ deniz seviyesinin altında).

Örnek 3 • Ekşi puan

Bir yarışmada doğru cevap +4, yanlış cevap −1 puandır. 15 doğru ve 6 yanlış yapan öğrencinin puanı: 15·4 + 6·(−1) = 60 − 6 = 54.

Yazılıda çıkabilecek soru kalıpları
  • Mutlak değer ve karşıt sayı bulma, sayıları sıralama
  • Toplama/çıkarma/çarpma/bölme işlemlerini işaret kurallarıyla yapma
  • Üslü ifade değeri (özellikle (−2)4 ile −24 farkı)
  • İşlem önceliği içeren çok işlemli sorular
  • Sıcaklık, deniz seviyesi, puan problemleri
2. ÜNİTERasyonel Sayılar

9Rasyonel Sayılar ve Ondalık Gösterimleri

Tanım

a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Payda asla 0 olamaz.

  • Her tam sayı rasyonel sayıdır (5 = 51, −3 = −31). Yani N ⊂ Z ⊂ Q. Ama her rasyonel sayı tam sayı değildir (12 gibi).
  • Basit kesir: payı paydasından küçük (34); bileşik kesir: payı paydasından büyük veya eşit (74); tam sayılı kesir: 134.
  • Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme: 235 = (2·5 + 3)5 = 135. Negatifse işaret korunur: −235 = −135.
  • Denk kesirler: pay ve payda aynı sayıyla çarpılır/bölünür. 23 = 46 = 69. Sadeleştirme: 1824 = 34.
  • Mutlak değer: |−34| = 34. Karşıt: 25 ile −25.
  • İki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
−2 −3/2 −1 −1/2 0 1/2 1

Birim aralıklar eşit parçalara bölünerek rasyonel sayılar sayı doğrusunda gösterilir.

Ondalık gösterim

  • Payı paydasına bölerek ondalık gösterim bulunur: 38 = 0,375    74 = 1,75    13 = 0,3    56 = 0,83    17 = 0,142857
  • Sonlu ondalık: 0,375  |  Devirli ondalık: aynı rakam(lar) sürekli tekrar eder, tekrar eden kısmın üstüne çizgi çekilir.
  • Ondalık → kesir (sonlu): 0,25 = 25100 = 14    1,6 = 1610 = 85
Devirli ondalık gösterimi kesre çevirme
  • 0,7 = 79    0,45 = 4599 = 511
  • Devretmeyen kısım varsa: payda: devir kadar 9, devretmeyen basamak kadar 0. Pay: devrettirilmiş sayının tamamı − devretmeyen kısım.
  • Örnek: 0,23 = (23 − 2)90 = 2190 = 730    0,16 = (16 − 1)90 = 1590 = 16

10Rasyonel Sayılarda Sıralama

  • Paydaları eşitle, paylara bak: 23 ve 34 → 812 < 912 → 23 < 34.
  • Payları eşitle (pozitif kesirlerde): payı aynı olanlarda paydası büyük olan daha küçüktür: 37 < 35.
  • Ondalığa çevir: 0,6 ; 58 = 0,625 ; 35 = 0,6 → 35 = 0,6 < 58.
  • Negatif rasyonel sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: −23 = −812 > −34 = −912.
  • Pozitif > 0 > negatif. Tam sayılı kesirlerde önce tam kısımlara bak.
Sık yapılan hata

Negatif sayılarda “payı büyük olan büyüktür” diye düşünmek yanlıştır. −12 ile −13 için: −12 = −36 < −26 = −13. Yani −13 daha büyüktür.

11Toplama ve Çıkarma

  1. Paydaları eşitle (ortak payda = paydaların EKOK’u).
  2. Payları tam sayı işaret kurallarıyla topla/çıkar, payda aynen yazılır.
  3. Gerekirse sadeleştir; tam sayılı kesirlerde önce bileşik kesre çevir.
Örnekler
  • 12 + 13 = 36 + 26 = 56
  • 34 − 56 = 912 − 1012 = −112
  • −25 + 310 = −410 + 310 = −110
  • 112 + 213 = 32 + 73 = 96 + 146 = 236 = 356
  • 0,4 + 14 = 0,4 + 0,25 = 0,65
Önemli

Toplamada değişme ve birleşme özelliği rasyonel sayılarda da geçerlidir. Çıkarma, a − b = a + (−b) kuralıyla toplamaya çevrilir.

12Çarpma ve Bölme

Çarpma

ab · cd = (a·c)(b·d)

Pay pay ile, payda payda ile çarpılır. Çaprazlama sadeleştirme yapmak işi kolaylaştırır. İşaret kuralı tam sayılardaki gibidir. Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrilir.

Çarpma işlemine göre ters

ab’nin çarpmaya göre tersi ba’dır (çarpımları 1). 35 → 53; −27 → −72; 4 → 14; 112 = 32 → 23. 0’ın çarpmaya göre tersi yoktur.

Bölme

ab : cd = ab · dc

Birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayının tersiyle çarpılır.

Örnekler
  • 23 · 910 = 1830 = 35
  • −34 · 89 = −2436 = −23
  • 212 · 115 = 52 · 65 = 3010 = 3
  • 34 : 98 = 34 · 89 = 2436 = 23
  • −56 : 103 = −56 · 310 = −1560 = −14
  • 4 : 23 = 4 · 32 = 6
Dikkat

Bölmede ikinci sayıyı ters çevirirsin, birinciyi değil. Ayrıca bölmede ve çıkarmada değişme özelliği yoktur.

13İşlem Önceliği ve Rasyonel Sayı Problemleri

İşlem önceliği tam sayılardakiyle aynıdır: parantez → üs → çarpma/bölme → toplama/çıkarma.

Örnek

12 + 34 · 23 = 12 + 612 = 12 + 12 = 1

Problem çözme

Örnek 1 • Bir sayının kesri

Bir sayının 25’i 18 ise sayı: 18 : 25 = 18 · 52 = 45.

Örnek 2 • Kalan miktar

Bir depodaki suyun 38’i kullanılıyor ve geriye 40 litre kalıyor. Kalan kısım 1 − 38 = 58. 58 → 40 L ise tamamı 40 · 85 = 64 L.

Örnek 3 • Harcama

Ayşe parasının önce 13’ünü, sonra kalanın 12’sini harcıyor. Harcanan: 13 + 23·12 = 13 + 13 = 23. Geriye 13’ü kalır.

Yazılıda çıkabilecek soru kalıpları
  • Kesri ondalığa, devirli ondalığı kesre çevirme
  • Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterme ve sıralama
  • Dört işlem (özellikle bölme ve negatif sayılar)
  • Çarpmaya göre ters ve karşıt sayı ayrımı
  • “Bir sayının … ’si” ve “kalan miktar” problemleri
EKTekrar ve Kontrol

14Kurallar Özeti

KonuHatırlanacak
Mutlak değer0’a uzaklık; hiçbir zaman negatif değildir
ToplamaAynı işaret: topla, işareti yaz • Farklı işaret: çıkar, büyüğün işaretini yaz
Çıkarmaa − b = a + (−b)
Çarpma / bölmeAynı işaret → +, farklı işaret → −
ÜsNegatif taban + çift üs → pozitif; tek üs → negatif. a0 = 1
İşlem önceliğiParantez → üs → ×, ÷ → +, −
Rasyonel sayıab, b ≠ 0; her tam sayı rasyoneldir
Toplama/çıkarmaPaydaları eşitle
ÇarpmaPay·pay / payda·payda
BölmeBirinciyi yaz, ikincinin tersiyle çarp
Devirli ondalık0,a = a9; 0,ab = ab99

15Sınav Öncesi Kontrol Listesi

Kutuları işaretle; işaretlerin de kaydedilir.

Başarılar!

Soruyu çözmeden önce işaretleri ve işlem sırasını kontrol et. Yanlış yaptığın tipleri fosforlu kalemle işaretle, sonra tekrar çöz.

Renk Kalınlık3